Auteur: Nolendil (nolendil@wanadoo.fr)
Date: Mon Nov 27 2006 - 23:50:47 CET
>> quézako aleph-3 ?
> D'après ce que je me souviens de ce que j'avais compris, l'aleph permet de
> meusure l'infini, parceque le concept d'infini en math ets infiniment vaste.
Mmmmmouiiiiiii......
Mais......
Je me permets de rectifier quelque peu.
> Aleph représente une infinité, le chiffre que tu met apres représente le nombre
> de dimension de cette infinité.
Admettons.
> Aleph-0 représente une infinité unidimensionnelle discrette, comme par exemple
> l'ensemble des nombres entiers.
Oui. Et tout ensemble dont les éléments peuvent être numérotés (1,2,3,.....) ont comme cardinal apleh-0.
Attention, cela ne veut pas dire qu'il y a un nombre fini d'éléments entre deux éléments.
D'abord parce que cela voudrait dire que on peut toujours ordonner les choses du plus petit au plus
grand (ce qui n'est pas vrai), ensuite parce que l'ensemble des rationnels par exemple (Q pour ceux
qui ont des souvenirs) est de cardinal aleph-0 et qu'il contredit l'affirmation précédente.
> Aleph-1 est une infinité unidimentionnelle toujours, mais elle n'est plus
> discrette. C'est par exemple une ligne droite. si on prends un bout de la ligne,
> il est possible de zoomer et on se rends compte qu'entre les points il ya encore
> des points, tout comme entre 2 et 3 il y a 2 et demi, 2 trois quart, et ainsi de
> suite jusqu'à ce que ma mere me done une gifle pour m'apprendre à obéire...
Admettons, mais ce qui fait vraiment la différence avec Alpeh-0, c'est que les points d'une ligne
droite, on ne peut PAS les compter. Non seulement il y en a une infinité, mais quelque soit la
manière de les recenser un par un, on en oubliera toujours la plus grande partie. A tel point que si
on tire au hasard un nombre réel entre 0 et 1, l'a chance d'obtenir un rationnel (qu'on peut
numéroter) est égale à 0.
> Aleph-2, c'est deux dimensions, a priori pas discrettes. En géometrie, ce serrait
> un plan.
> Aleph-3, c'est un espace.
C'est là que tu dérape, parce que R² et R^3 (le plan et l'espace) sont eux aussi de cardinal aleph-1.
En effet, aussi bizarre que cela puisse paraître, il y a autant de point sur un segment que dans un
carré de côté ce segment ou dans un cube d'arête ce segment...
En revanche, on peut voir Aleph-2 comme l'ensemble de toutes les courbes possibles (au sens courbes
représentatives de fonctions) du carré avec 0<x<1 et 0<y<1.
Et pour Alpeh-3 çà devient ... abstrait.
D'abord ceci s'appelle l'hypothèse du continu, on la considère en général comme vraie mais elle est
en fait indécidable, c'est à dire qu'on pourrait bâtir une théorie mathématique entière sur le fait
que c'est faux (un peu peu comme les géométrie non euclidienne sur le fait que par un point on peut
tracer aucune ou une infinité de droites parallèle à une droite donnée).
Désolé pour le cours.
Nolendil
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